Question

16．求證：函數(shù)f（x）=3ax²+2（a+1）x+1（a∈R）在（-1，0）內(nèi)至少有一個零點．

Answer 1

分析 利用零點判定定理以及二次函數(shù)的性質證明即可．

解答 證明：由題意可得：f（-1）f（0）=（3a-2a-2+1）×1=a-1，
當a＜1時，f（-1）f（0）=a-1＜0，函數(shù)在（-1，0）內(nèi)有一個零點．
當a≥1時，函數(shù)f（x）=3ax²+2（a+1）x+1的開口向上，對稱軸為：x=-$\frac{a+1}{3a}$∈（-1，0）．
此時△=4（a+1）²-12a=4a²-4a+4＞0，函數(shù)在（-$\frac{a+1}{3a}$，0）由一個零點．
所以函數(shù)f（x）=3ax²+2（a+1）x+1（a∈R）在（-1，0）內(nèi)至少有一個零點．

點評 本題考查函數(shù)與方程的應用，零點判定定理的應用，考查分類討論思想的應用，考查計算能力．