Question

16．求證：函數(shù)f（x）=3ax²+2（a+1）x+1（a∈R）在（-1，0）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析 利用零點(diǎn)判定定理以及二次函數(shù)的性質(zhì)證明即可．

解答 證明：由題意可得：f（-1）f（0）=（3a-2a-2+1）×1=a-1，
當(dāng)a＜1時(shí)，f（-1）f（0）=a-1＜0，函數(shù)在（-1，0）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）=3ax²+2（a+1）x+1的開口向上，對(duì)稱軸為：x=-$\frac{a+1}{3a}$∈（-1，0）．
此時(shí)△=4（a+1）²-12a=4a²-4a+4＞0，函數(shù)在（-$\frac{a+1}{3a}$，0）由一個(gè)零點(diǎn)．
所以函數(shù)f（x）=3ax²+2（a+1）x+1（a∈R）在（-1，0）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．