Question

14．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知∠A=45°，a=6．
（1）若∠C=105°，求b；
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用和差公式與正弦定理即可得出．
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bcsinA，利用基本不等式的性質(zhì)可得：36≥2bc-2bc×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，進(jìn)而得出．

解答 解：（1）sin105°=sin75°=sin（30^°+45^°）=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
由正弦定理可得：$\frac{6}{sin4{5}^{°}}$=$\frac{c}{sin10{5}^{°}}$，∴c=$\frac{6×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$．
（2）a²=b²+c²-2bcsinA，
∴36≥2bc-2bc×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得bc≤′18（2+$\sqrt{2}$）．當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$時(shí)取等號(hào)．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$×$18（2+\sqrt{2}）$=9（1+$\sqrt{2}$）．
∴△ABC面積的最大值是9（1+$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式、基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．