Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（1，

3

2

），且離心率e=

1

2

．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線l：y=

1

2

x+m與橢圓交于不同的兩點M，N，且線段MN的垂直平分線過定點G（

1

8

，0），求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可得

1 a2 + 9 4b2 =1 c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得即可；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點為P（x₀，y₀）．聯(lián)立

y= 1 2 x+m x2 4 + y2 3 =1

，化為x²+mx+m²-3=0，利用根與系數(shù)的關系與中點坐標公式可得
P(-

m

4

，

7m

8

)．可得線段MN的垂直平分線方程為y-

7m

8

=-2(x+

m

4

)，把G（

1

8

，0）代入解出m即可．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（1，

3

2

），且離心率e=

1

2

．
∴

1 a2 + 9 4b2 =1 c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得a=2，c=1，b²=3．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點為P（x₀，y₀）．
聯(lián)立

y= 1 2 x+m x2 4 + y2 3 =1

，化為x²+mx+m²-3=0，
∴x1+x2=-

m

2

，x₁x₂=m²-3．
∴x₀=

x1+x2

2

=-

m

4

，y0=

1

2

x0+m=-

m

8

+m=

7m

8

．
∴P(-

m

4

，

7m

8

)．
∴線段MN的垂直平分線方程為y-

7m

8

=-2(x+

m

4

)，
把G（

1

8

，0），代入可得0-

7m

8

=-2(

1

8

+

m

4

)，
解得m=

2

3

．
∴直線l的方程為y-

7

12

=-2(x+

1

6

)，化為8x+4y-1=0．
∴直線l的方程為：8x+4y-1=0．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、中點坐標關系、線段的垂直平分線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．