Question

11．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與直線y=x+2平行，且它的焦點與橢圓$\frac{{x}^{2}}{24}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦點重合，則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 求出橢圓的焦點坐標，可得雙曲線的焦點坐標，結(jié)合雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與直線y=x+2平行，求出a，b，即可得出雙曲線的方程．

解答 解：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{24}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦點為（±2$\sqrt{2}$，0），
∴雙曲線的焦點坐標為（±2$\sqrt{2}$，0），
故雙曲線中的c=2$\sqrt{2}$，且滿足 c²=a²+b²，故a²+b²=8
∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與直線y=x+2平行，
∴a=b，
∴a=b=2，
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

點評 本題主要考查圓錐曲線的基本元素之間的關(guān)系問題，同時雙曲線、橢圓的相應(yīng)知識也進行了綜合性考查．