Question

2．卵形線是常見曲線的一種，分笛卡爾卵形線和卡西尼卵形線，卡西尼卵形線是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)（叫做焦點(diǎn)）距離之積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．某同學(xué)類比橢圓與雙曲線對(duì)卡西尼卵形線進(jìn)行了相關(guān)性質(zhì)的探究，設(shè)焦點(diǎn)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，|PF₁|•|PF₂|=a²（a是定長），得出卡西尼卵形線的相關(guān)結(jié)論：①既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形；②若a=c，則曲線過原點(diǎn)；③若0＜a＜c，則曲線不存在；④若0＜c＜a，則a²-c²≤x²+y²≤a²+c²．其中正確命題的序號(hào)是①②③④．

Answer 1

分析 由題意設(shè)P（x，y），則$\sqrt{（x+c）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-c）^{2}+{y}^{2}}$=a²，即[（x+c）²+y²]•[（x-c）²+y²]=a⁴，對(duì)4個(gè)選項(xiàng)加以驗(yàn)證，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意設(shè)P（x，y），則$\sqrt{（x+c）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-c）^{2}+{y}^{2}}$=a²，
即[（x+c）²+y²]•[（x-c）²+y²]=a⁴，
①把方程中的x被-x代換，方程不變，故此曲線關(guān)于y軸對(duì)稱；把方程中的y被-y 代換，方程不變，故此曲線關(guān)于x軸對(duì)稱；把方程中的x被-x代換，y被-y 代換，方程不變，故此曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；故①正確；
②a=c，（0，0）代入，方程成立則曲線過原點(diǎn)，即故②正確；
③∵（|PF₁|+|PF₂|）_min=2c，（當(dāng)且僅當(dāng)，|PF₁|=|PF₂|=c時(shí)取等號(hào)），∴（|PF₁||PF₂|）_min=c²，∴若0＜a＜c，則曲線不存在，故③正確；
④若0＜c＜a，則類比橢圓的性質(zhì)，可得a²-c²≤x²+y²≤a²+c²，故④正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用新定義是關(guān)鍵．