Question

19．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a₁=-1，b₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1-4_{n}^{2}}$，b_n+1=a_n+1b_n，點(diǎn)P_n的坐標(biāo)為（a_n，b_n），且點(diǎn)P₁、P₂在直線l上．
（1）求直線l的方程；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意n∈N^*，點(diǎn)P_n（a_n，b_n）在直線l上．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，b₁=-1可得P₁的坐標(biāo)為（1，-1），只要求出點(diǎn)P₂的坐標(biāo)即可求出過點(diǎn)P₁，P₂的直線l的方程；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答 （1）解：當(dāng)n=2時(shí)，a₂=$\frac{{a}_{1}}{1-4_{1}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，b₂=a₂b₁＜0，
∴P₁（-1，1），P₂（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），
故過P₁、P₂兩點(diǎn)的直線l的方程為y-1=-$\frac{1}{2}$（x+1），即x+2y-1=0；
（2）證：①顯然P₁在直線l上
②假設(shè)P_k在直線l上，則a_k+2b_k-1=0，即a_k=1-2b_k，
則n=k+1時(shí)
a_k+1+2b_k+1-1=$\frac{{a}_{k}}{1-4_{k}^{2}}$×b_k-1=$\frac{{a}_{k}（1+2_{k}）}{1-4_{k}^{2}}$-1=$\frac{{a}_{k}}{1-2_{k}}$-1=0，
∴P_k+1在直線l上，
由①②知，對(duì)任意n∈N^*，點(diǎn)P_n直線l上．

點(diǎn)評(píng) 此題考查直線的兩點(diǎn)式，關(guān)鍵是求出點(diǎn)P₁，P₂的坐標(biāo)；第二問考查數(shù)學(xué)歸納法，記住其一般步驟：（1）當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立．（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)（把式中n換成k，寫出來）成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，（這步比較困難，化簡步驟往往繁瑣，考試時(shí)可以直接寫結(jié)果）該式也成立．由（1）（2）得，原命題對(duì)任意正整數(shù)均成立．