Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n=3a_n-1．
（1）求數(shù)列{a_n]的通項a_n；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=a_n+b_n，記c_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n+1}+1）•_{n}}$，求{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）當n=1時，求得a₁=1，2S_n=3a_n-1，當n≥2，2S_n-1=3a_n-1-1，化簡得a_n=3a_n-1，進而得到a_n=3^n-1；
（2）根據(jù)b_n+1-b_n=3^n-1，采用累加法求得數(shù)列{b_n}的通項公式，$_{n}=\frac{{3}^{n-1}}{2}+\frac{1}{2}$，c_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n+1}+1）•_{n}}$，化簡整理得到數(shù)列{c_n}的通項公式，c_n=$\frac{1}{{3}^{n-1}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1}$，
即可得到T_n．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n=3a_n-1，
當n=1，a₁=1，
當n≥2時，2S_n-1=3a_n-1-1，
兩式相減：2a_n=3a_n-3a_n-1，
a_n=3a_n-1，
數(shù)列{a_n}的通項a_n，a_n=3^n-1；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=a_n+b_n，
b_n+1-b_n=3^n-1，
b₂-b₁=1，
b₃-b₂=3，
$_{4}-_{3}={3}^{2}$，
…
b_n-b_n-1=3^n-2，
以上各式相加得：
b_n-b₁=1+3+3²+3³+…+3^n-2，
∴$_{n}=\frac{{3}^{n-1}}{2}+\frac{1}{2}$，
c_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n+1}+1）•_{n}}$=$\frac{2•{3}^{n-1}}{（{3}^{n-1}+1）（{3}^{n}+1）}$=$\frac{1}{{3}^{n-1}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1}$，
{c_n}的前n項和T_n，T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{10}$）+（$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{28}$）+…+（$\frac{1}{{3}^{n-1}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1}$），
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{3}^{n}+1}$，
=$\frac{{3}^{n}-1}{2（{3}^{n}+1）}$．
∴T_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2（{3}^{n}+1）}$．

點評 本題是一道數(shù)列與不等式的綜合題，考查數(shù)列的通項、求和等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．