Question

如圖，已知圓柱的上、下底面圓心分別為P、Q，AA₁與CC₁是圓柱的母線，正方形ABCD內(nèi)接于下底面圓Q，AB=kAA₁=2，連接PA、PB、PC．
（Ⅰ）當(dāng)k=

2

時(shí)，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅱ）當(dāng)k為何值時(shí)，Q點(diǎn)在平面PBC內(nèi)的射影恰好是△PBC的重心．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）當(dāng)k=

2

時(shí)，AA₁=

2

，AB=2，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線PA與平面PBC所成角的正弦值．
（Ⅱ）取BC中點(diǎn)E，連結(jié)QE，PE，則QE⊥BC，PE⊥BC，過Q作QF⊥PE，交PE于F，由已知得F是Q點(diǎn)在平面PBC內(nèi)的射影，利用向量法能求出當(dāng)k為

5

2

時(shí)，Q點(diǎn)在平面PBC內(nèi)的射影恰好是△PBC的重心．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)k=

2

時(shí)，AA₁=

2

，AB=2，
以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
P（1，1，

2

），A（2，0，0），
B（2，2，0），C（0，2，0），

PA

=（1，-1，-

2

），

PB

=（1，1，-

2

），

PC

=（-1，1，-

2

），
設(shè)平面PBC的法向量

n

=（x，y，z），

n • PB =x+y- 2 z=0 n • PC =-x+y- 2 z=0

，
取x=1，得

n

=（0，

2

，1），
設(shè)直線PA與平面PBC所成角為θ，
sinθ=|cos＜

PA

，

n

＞|=|

0- 2 - 2

4 • 3

|=

6

3

，
∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為

6

3

．
（Ⅱ）取BC中點(diǎn)E，連結(jié)QE，PE，則QE⊥BC，PE⊥BC，
∴BC⊥平面PQE，
過Q作QF⊥PE，交PE于F，∵QF?平面PQE，∴BC⊥QF，
又BC∩PE=F，∴QF⊥平面PBC，即F是Q點(diǎn)在平面PBC內(nèi)的射影，
∵F恰好是△PBC的重心，∴

PF

=

2

3

PE

，
∵AA1=

2

k

，AB=2，∴Q（1，1，0），P（1，1，

2

k

），E（1，2，0），設(shè)F（a，b，c），

PF

=

2

3

PE

=（0，

2

3

，-

1

3k

）=（a-1，b-1，c-

2

k

），
∴F（1，

5

3

，

5

3k

），

QF

=（0，

2

3

，

5

3k

），
∵

QF

•

PF

=

4

9

-

5

9k2

=0，∴k=

5

2

，或k=-

5

2

．（舍）
∴當(dāng)k為

5

2

時(shí)，Q點(diǎn)在平面PBC內(nèi)的射影恰好是△PBC的重心．

點(diǎn)評：本題考查直線PA與平面PBC所成角的正弦值的求法，考查當(dāng)k為何值時(shí)，Q點(diǎn)在平面PBC內(nèi)的射影恰好是△PBC的重心的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．