Question

17．已知函數(shù)$f（x）=lg\frac{x+1}{2x-a}+lga$（a是實(shí)常數(shù)）
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性與實(shí)數(shù)a的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{2x-a}＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，解可得x的取值范圍，即可得答案；
（2）由函數(shù)的解析式可得f（-x），結(jié)合a的取值分析f（x）與f（-x）的關(guān)系，即可得答案．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=lg\frac{x+1}{2x-a}+lga$，
有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{2x-a}＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，解可得x＜-1或x＞$\frac{a}{2}$，
故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（$\frac{a}{2}$，+∞）；
（2）函數(shù)$f（x）=lg\frac{x+1}{2x-a}+lga$，則f（-x）=lg$\frac{-x+1}{-2x-a}$+lga，
分析可得：a=2時(shí)，有f（-x）=-f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
當(dāng)a≠2時(shí)，f（-x）與-f（x）沒(méi)有關(guān)系，函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及函數(shù)的定義域的求法，注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域．