Question

2．已知橢圓Γ的中心在原點，焦點F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$，它的一個頂點恰好是拋物線y=$\frac{1}{4}$x²的焦點．
（1）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）Q為橢圓Γ的左頂點，直線l經(jīng)過點（-$\frac{6}{5}$，0）與橢圓Γ交于A，B兩點．
（1）若直線l垂直于x軸，求∠AQB的大��；
（2）若直線l與x軸不垂直，是否存在直線l使得△QAB為等腰三角形？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，根據(jù)條件列方程組解出a，b即可；
（II）（1）把x=-$\frac{6}{5}$代入橢圓方程解出A，B坐標(biāo)，根據(jù)三角形的邊長即可求出∠AQB；
（2）設(shè)AB斜率為k，聯(lián)立方程組求出A，B坐標(biāo)的關(guān)系，通過計算$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$=0得出$\overrightarrow{QA}⊥\overrightarrow{QB}$，則當(dāng)△QAB為等腰直角三角形時，取AB中點N，則QN⊥AB，計算QN的斜率判斷是否為-$\frac{1}{k}$即可得出結(jié)論．

解答 解：（I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0）．
拋物線y=$\frac{1}{4}$x²的焦點為（0，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，
∴橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（II）Q（-2，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）當(dāng)直線l垂直于x軸時，直線l的方程為x=-$\frac{6}{5}$．則直線l與x軸交于M（-$\frac{6}{5}$，0）．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{6}{5}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{6}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{6}{5}}\\{y=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$．
不妨設(shè)A在第二象限，則A（-$\frac{6}{5}$，$\frac{4}{5}$），B（-$\frac{6}{5}$，-$\frac{4}{5}$）．
∴|QM|=|AM|=$\frac{4}{5}$．
∴∠AQM=45°，∴∠AQB=2∠AQM=90°．
（2）當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l方程為y=k（x+$\frac{6}{5}$）（k≠0）．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+\frac{6}{5}）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消元得（25+100k²）x²+240k²x+144k²-100=0．
∴x₁+x₂=$\frac{-240{k}^{2}}{25+100{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{144{k}^{2}-100}{25+100{k}^{2}}$．
y₁y₂=k²（x₁+$\frac{6}{5}$）（x₂+$\frac{6}{5}$）=$\frac{144{k}^{4}-100{k}^{2}}{25+100{k}^{2}}$-$\frac{6}{5}{k}^{2}$•$\frac{240{k}^{2}}{25+100{k}^{2}}$+$\frac{36{k}^{2}}{25}$．
∵$\overrightarrow{QA}$=（x₁+2，y₁），$\overrightarrow{QB}$=（x₂+2，y₂），
∴$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=$\frac{144{k}^{2}-100}{25+100{k}^{2}}$-$\frac{480{k}^{2}}{25+100{k}^{2}}$+4+$\frac{144{k}^{4}-100{k}^{2}}{25+100{k}^{2}}$-$\frac{6}{5}{k}^{2}$•$\frac{240{k}^{2}}{25+100{k}^{2}}$+$\frac{36{k}^{2}}{25}$=0．
∴QA⊥QB，即△QAB是直角三角形．
假設(shè)存在直線l使得△QAB是等腰直角三角形，則|QA|=|QB|．
取AB的中點N，連結(jié)QN，則QN⊥AB．
又x_N=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=-$\frac{120{k}^{2}}{25+100{k}^{2}}$=-$\frac{24{k}^{2}}{2+20{k}^{2}}$，y_N=k（x_N+$\frac{6}{5}$）=$\frac{6k}{5+20{k}^{2}}$．
∴k_QN=$\frac{6k}{16{k}^{2}+10}$，∴k_QN•k_AB=$\frac{6{k}^{2}}{16{k}^{2}+10}$≠-1．
∴QN與AB不垂直，矛盾．
∴直線l與x軸不垂直，不存在直線l使得△QAB為等腰三角形．

點評 本題考查了橢圓，拋物線的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．