Question

11．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，虛軸的上端點(diǎn)為B，線段AB與漸近線交于點(diǎn)M，若FM平分∠BFA，則該雙曲線的離心率e=（　　）

• A． 1+$\sqrt{3}$
• B． 1+$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，求得AB的方程，解得M的坐標(biāo)，即為中點(diǎn)，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)，可得AF=BF，再由兩點(diǎn)的距離公式和離心率公式，解方程可得所求值．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由A（a，0），B（0，b），可得直線AB的方程為bx+ay=ab，
聯(lián)立漸近線方程y=$\frac{a}$x，解得M（$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$），
即有M為AB的中點(diǎn)，
由FM平分∠BFA，可得三角形ABF為等腰三角形，
即有AF=BF，即a+c=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$，
又a²+b²=c²，可得c²=2a²+2ac，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-2e-2=0，
解得e=1+$\sqrt{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程，等腰三角形的性質(zhì)，以及方程的思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．