Question

求證：

5

是無理數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法

專題：證明題,反證法

分析：利用反證法，假設(shè)

5

是有理數(shù)，不妨設(shè)

5

=

q

p

（p，q是互質(zhì)的正整數(shù)）．可得5必是q的因數(shù)，所以可設(shè)q=5m（m為正整數(shù)），從而可知5又是p的因數(shù)，因此p，q有公因數(shù)5，這與p，q是互質(zhì)的正整數(shù)相矛盾，從而問題得證．

解答： 證明：假設(shè)

5

是有理數(shù)，不妨設(shè)

5

=

q

p

（p，q是互質(zhì)的正整數(shù)）．
則q²=5p²，故5必是q的因數(shù)．
于是可設(shè)q=5m（m為正整數(shù)），則5p²=25m²，即p²=5m²，故5又是p的因數(shù)．
因此p，q有公因數(shù)5，這與p，q是互質(zhì)的正整數(shù)相矛盾．
這說明假設(shè)

5

是有理數(shù)不成立，故

5

是無理數(shù)．

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是反證法，主要考查反證法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用反證法的證題步驟：反設(shè)，歸謬，引出矛盾，從而下結(jié)論．