Question

5．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{n}$=（2，2-tanx），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$
（1）求$\frac{\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）}{sinx+3cosx}$的值；
（2）設(shè)△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cosA=tan（x+$\frac{π}{4}$），△ABC的面積為4$\sqrt{2}$，csinB=4sinC，求a．

Answer 1

分析 （1）令$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$解出tanx，將$\frac{\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）}{sinx+3cosx}$分子展開然后弦化切即可計算出結(jié)果；
（2）求出cosA，sinA，根據(jù)面積公式得到bc，利用正弦定理化簡csinB=4sinC即可得到b，利用余弦定理計算a．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，即2sinx+2cosx-cosxtanx=0，
∴sinx+2cosx=0，∴tanx=-2．
∴$\frac{\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）}{sinx+3cosx}$=$\frac{sinx-cosx}{sinx+3cosx}$=$\frac{tanx-1}{tanx+3}$=-3．
（2）cosA=$\frac{tanx+tan\frac{π}{4}}{1-tanxtan\frac{π}{4}}$=-$\frac{1}{3}$．∴sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=4$\sqrt{2}$，∴bc=12．
∵csinB=4sinC，∴$\frac{sinB}{sinC}=\frac{4}{c}$，又由正弦定理得$\frac{sinB}{sinC}=\frac{c}$，
∴b=4，c=3．
∴a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{16+9+8}$=$\sqrt{33}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量級運算，三角函數(shù)的恒等變換，正余弦定理解三角形，屬于中檔題．