Question

13．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且對于?x∈R，都有f（-x）=f（x）成立．
（1）若x≥0時(shí)，f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^x，求不等式f（x）＞$\frac{1}{4}$的解集；
（2）若f（x+1）是偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2^x，求f（x）在區(qū)間[2015，2016]上的解析式．

Answer 1

分析 （1）由題意求出f（x）在定義域?yàn)镽上的解析式，再求解f（x）＞$\frac{1}{4}$的解集；
（2）由f（x+1）是偶函數(shù)，可得f（x）是周期為1的函數(shù)．當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2^x，可以得出f（x）在區(qū)間[2015，2016]上的解析式．

解答 解：由題意：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且對于?x∈R，都有f（-x）=f（x）成立．
∴f（x）是偶函數(shù)．
（1）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^x，
那么：x＜0時(shí)，則-x＞0，
f（-x）=（${\frac{1}{2}}$）^-x，
∵f（-x）=f（x），
故得x＜0時(shí)，f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^-x，
∴f（x）在定義域?yàn)镽上的解析式f（x）=$（\frac{1}{2}）^{|x|}$，
不等式f（x）＞$\frac{1}{4}$轉(zhuǎn)化為：$（\frac{1}{2}）^{|x|}＞（\frac{1}{2}）^{2}$，
∴|x|＜2，
解得：-2＜x＜2，
∴不等式f（x）＞$\frac{1}{4}$的解集為{x|-2＜x＜2}．
（2）由f（x+1）是偶函數(shù)，可得f（x）是周期為1的函數(shù)．即f（x+1）=f（x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2^x，
∵x∈[2015，2016]上，
那么：x-2015∈[0，1]上；
∴f（x）=2^x-2015；
故得f（x）在區(qū)間[2015，2016]上的解析式f（x）=2^x-2015；

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用和周期函數(shù)解析式的求法．屬于基礎(chǔ)題．