Question

5．長為2$\sqrt{3}$的線段EF的端點E，F分別在直線y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x和y=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x上滑動，P是線段EF的中點．
（Ⅰ）求點P的軌跡M的方程；
（Ⅱ）設直線l：x=ky+m與軌跡M交于A，B兩點，若以AB為直徑的圓經過定點C（3，0）（C點與A，B點不重合），求證：直線l經過定點Q，并求出Q點的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用中點坐標公式，結合長為2$\sqrt{3}$的線段EF，建立方程，即可求點P的軌跡M的方程；
（Ⅱ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}x=ky+m\\ \frac{x^2}{9}+{y^2}=1\end{array}\right.$消去x得（k²+9）y²+2kmy+m²-9=0，因為以AB為直徑的圓過點C，所以 $\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$．由此即可證明結論．

解答 解：（Ⅰ）設P（x，y），E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
∵P是線段EF的中點，∴$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}\\{y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}}\end{array}}\right.$．
∵E，F分別是直線$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$和$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$上的點，∴${y_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x_1}$和${y_2}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x_2}$．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}-{x_2}=2\sqrt{3}y}\\{{y_1}-{y_2}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x}\end{array}}\right.$，…（3分）$|{EF}|=2\sqrt{3}$，∴${（{{x_1}-{x_2}}）^2}+{（{y_1}-{y_2}）^2}=12$．
∴$12{y^2}+\frac{4}{3}{x^2}=12$，
∴動點P的軌跡M的方程為$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$．    …（6分）
（Ⅱ）由直線AB的方程x=ky+m．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}x=ky+m\\ \frac{x^2}{9}+{y^2}=1\end{array}\right.$消去x得（k²+9）y²+2kmy+m²-9=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有${y_1}+{y_2}=-\frac{2km}{{{k^2}+9}}$，${y_1}{y_2}=\frac{{{m^2}-9}}{{{k^2}+9}}$．①．…（8分）
因為以AB為直徑的圓過點C，所以 $\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$．
由 $\overrightarrow{CA}=（{x_1}-3，{y_1}），\overrightarrow{CB}=（{x_2}-3，{y_2}）$，得 （x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=0．
將x₁=ky₁+m，x₂=ky₂+m代入上式，
得 $（{k^2}+1）{y_1}{y_2}+k（m-3）（{y_1}+{y_2}）+{（m-3）^2}=0$②．
將 ①代入②式，解得 $m=\frac{12}{5}$或m=3（舍）．
所以$m=\frac{12}{5}$，記直線l與x軸交點為Q，則Q點坐標為$（{\frac{12}{5}，0}）$，…（12分）

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．