3.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{2}{x^2}$-2lnx+a(a∈R),g(x)=-x2+3x-4.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設a=0,直線x=t與f(x),g(x)的圖象分別交于點M、N,當|MN|達到最小值時,求t的值;
(3)若對于任意x∈(m,n)(其中n-m≥1),兩個函數(shù)圖象分別位于直線l:x-y+s=0的兩側(與直線l無公共點),則稱這兩個函數(shù)存在“EN通道”.試探究:f(x)與g(x)是否存在“EN通道”,若存在,求出x的取值范圍;若不存在,請說明理由.

分析 (1)根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關系即可求出;
(2)根據(jù)題意構造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),利用導數(shù)求此函數(shù)的最小值,確定對應的自變量x的值,即可得到結論;
(3)探究是否有斜率為的平行切線即可.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=$\frac{1}{2}{x^2}$-2lnx+a的導數(shù)為:函數(shù)f′(x)=x-$\frac{2}{x}$=$\frac{{x}^{2}-2}{x}$ (x>0).
當x∈(0,$\sqrt{2}$)時,f′(x)<0,當x∈($\sqrt{2}$,+∞)時,f′(x)>0,
∴函數(shù)f(x)的減區(qū)間為:(0,$\sqrt{2}$),增區(qū)間為:($\sqrt{2}$,+∞).
(2)a=0時,設函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)=$\frac{3}{2}$x2-3x-2lnx+4,函數(shù)的定義域(0,+∞),
h′(x)=$\frac{3{x}^{2}-3x-2}{x}$,令h′(x)=0⇒x=$\frac{3+\sqrt{33}}{6}$,
當x$∈(0,\frac{3+\sqrt{33}}{6})$時,函數(shù)h(x)遞減x$∈(\frac{3+\sqrt{33}}{6},+$∞)時函數(shù)h(x)遞增,所以x=$\frac{3+\sqrt{33}}{6}$時,h(x)最。
∴當|MN|達到最小值時,t的值為$\frac{3+\sqrt{33}}{6}$.
(3)設函數(shù)f(x)的斜率為1的切線的切點為A(x0,y0),∵$f′({x}_{0})={x}_{0}-\frac{2}{{x}_{0}}=1$⇒x0=2,⇒A(2,2-2ln2+a)
設函數(shù)g(x)的斜率為1的切線的切點為B(x1,y1),g′(x1)=-2x1+3=1⇒x1=1,⇒B(1,-2),
有(1)可知函數(shù)f(x)的減區(qū)間為:(0,$\sqrt{2}$),增區(qū)間為:($\sqrt{2}$,+∞).又因為g(x)=-x2+3x-4在(0,$\frac{3}{2}$)遞增,在($\frac{3}{2},+∞)$遞減,
所以f(x)與g(x)存在“EN通道“,過點A、B的切線分別為y=x+a-2ln2、y=x-3,依題意只需a-2ln2>-3⇒a>2ln2-3.

點評 本題考查導數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查函數(shù)的最值,考查分類討論的數(shù)學思想,難度較大

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