Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosa\\ y=2+tsina\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=6sinθ．
（Ⅰ）求a=$\frac{π}{4}$時(shí)的普通方程和圓C普通的方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），求|PA|+|PB|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=$\frac{π}{4}$時(shí)，直線l的普通方程為x-y+1=0；由ρ=6sinθ得ρ²=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得t²+2（cosα-sinα）t-7=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）a=$\frac{π}{4}$時(shí)，直線l的普通方程為x-y+1=0；
由ρ=6sinθ得ρ²=6ρsinθ，化為直角坐標(biāo)方程為x²+y²=6y，即x²+（y-3）²=9．
（Ⅱ）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得t²+2（cosα-sinα）t-7=0，
由△=（2cosα-2sinα）²+4×7＞0，故可設(shè)t₁，t₂是上述方程的兩根，
∴t₁+t₂=-2（cosα-sinα），t₁t₂=-7，
又直線過點(diǎn)（1，2），故結(jié)合t的幾何意義得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{4（cosα-sinα）^{2}+28}$=$\sqrt{32-4sin2α}$$≥\sqrt{32-4}$=2$\sqrt{7}$，
∴|PA|+|PB|的最小值為2$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交弦長(zhǎng)問題、一元二次方程的根與系數(shù)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．