分析 (1)對(duì)x與-m,$\frac{n}{2}$的大小關(guān)系分類討論,利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
(2)利用不等式的基本性質(zhì)即可得出.
解答 (1)解:m、n∈R+,
當(dāng)x≥$\frac{n}{2}$時(shí),f(x)=x+m+2x-n=3x+m-n,當(dāng)x=$\frac{n}{2}$時(shí),取得最小值m+$\frac{n}{2}$;
當(dāng)-m≤x≤$\frac{n}{2}$時(shí),f(x)=x+m+n-2x=-x+m+n,當(dāng)x=$\frac{n}{2}$時(shí),取得最小值m+$\frac{n}{2}$;
當(dāng)x≤-m時(shí),f(x)=-(x+m)-(2x-n)=-3x-m+n,當(dāng)x=-m時(shí),取得最小值2m+n.
∵2m+n-$(m+\frac{n}{2})$=m+$\frac{n}{2}$>0.
∴x=$\frac{n}{2}$時(shí),f(x)的最小值為m+$\frac{n}{2}$.
(2)證明:由(1)可知:m+$\frac{n}{2}$=2,m、n∈R+,
∴4(m2+$\frac{{n}^{2}}{4}$)≥2$(m+\frac{n}{2})^{2}$=8,當(dāng)且僅當(dāng)m=$\frac{n}{2}$=1時(shí)取等號(hào).
點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的單調(diào)性、絕對(duì)值函數(shù)、基本不等式的性質(zhì),考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | 一 | B. | 二 | C. | 三 | D. | 四 |
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A. | M∩N=∅ | B. | M?N | C. | N?M | D. | M=N |
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A. | $\frac{2}{3}$ | B. | -$\frac{2}{3}$ | C. | $\frac{3}{2}$ | D. | -$\frac{3}{2}$ |
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A. | (3,+∞) | B. | (-∞,0)∪(3,+∞) | C. | (0,+∞) | D. | (-∞,0)∪(0,+∞) |
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