Question

已知為函數(shù)圖象上一點，O為坐標原點，記直線的斜率．
（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）當 時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）求證：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）在函數(shù)定義域范圍內(nèi)求函數(shù)的極值，則極值點在內(nèi)；（2）首先根據(jù)條件分離出變量，由轉(zhuǎn)化成求的最小值（利用二次求導(dǎo)判單調(diào)性）；（3）結(jié)合第（2）問構(gòu)造出含
的不等關(guān)系，利用裂項相消法進行化簡求和.
試題解析：（1）由題意，              1分
所以                   2分
當時，；當時，．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在處取得極大值．                      3分
因為函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，
所以，得．即實數(shù)的取值范圍是．        4分
（2）由得，令，
則．                           6分
令，則，
因為所以,故在上單調(diào)遞增．        7分
所以,從而
在上單調(diào)遞增,
所以實數(shù)的取值范圍是．                    9分
（3）由(2) 知恒成立,
即         11分
令則，        12分
所以， ，  ,．
將以上個式子相加得：
，
故．               14分
考點：1.函數(shù)極值、最值的求法；2.函數(shù)單調(diào)性的判定；3.恒成立問題的轉(zhuǎn)化.