Question

7．定義在（-1，0）∪（0，1）的偶函數(shù)f（x），滿足f（$\frac{1}{2}$）=0．當(dāng)x＞0時，總有（$\frac{1}{x}$-x）f′（x）•ln（1-x²）＞2f（x），則f（x）＜0解集為$\{x丨-1＜x＜-\frac{1}{2}或\frac{1}{2}＜x＜1\}$．

Answer 1

分析 根據(jù)偶函數(shù)的對稱性，利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)性，

解答 解：當(dāng)x＞0時，總有（$\frac{1}{x}$-x）f′（x）•ln（1-x²）＞2f（x）
f′（x）•ln（1-x2）＞$\frac{2x}{1-{x}^{2}}f（x）$，
也就是$f′（x）•ln（1-{x}^{2}）+\frac{-2x}{1-{x}^{2}}f（x）＞0$恒成立，
[ln（1-x²）]′
=[ln（1-x）+ln（1+x）]′
=$\frac{-1}{1-x}+\frac{1}{1+x}$
=$\frac{-2x}{1-{x}^{2}}$
∴[f（x）•ln（1-x²）]′＞0恒成立，
設(shè)g（x）=f（x）•ln（1-x²），
則g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增
y=ln（1-x²）是偶函數(shù)，函數(shù)g（x）=f（x）•ln（1-x²）是偶函數(shù)，
∴在（-1，0）上單調(diào)遞減．
$f（\frac{1}{2}）=f（-\frac{1}{2}）=0$，$g（\frac{1}{2}）=g（-\frac{1}{2}）=g（0）=0$
所以g（x）的圖象如下：
$x∈（\frac{1}{2}，1）$，g（x）＞0，而ln（1-x²）＜0，所以f（x）＜0；
$x∈（0，\frac{1}{2}）$，g（x）＜0，而ln（1-x²）＜0，所以f（x）＞0，
函數(shù)f（x）的圖象對稱性可求得解集；
故答案為：$\{x丨-1＜x＜-\frac{1}{2}或\frac{1}{2}＜x＜1\}$

點(diǎn)評 本題考查利用函數(shù)的對稱性及導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．