Question

8．若α∈（0，π），且$\frac{1}{2}$cos2α=sin（$\frac{π}{4}$+α），則sin2α的值為-1．

Answer 1

分析 由條件利用兩角和的正弦公式、二倍角公式求得，cosα-sinα，或 cosα+sinα的值，從而求得sin2α的值．

解答 解：∵α∈（0，π），且$\frac{1}{2}$cos2α=sin（$\frac{π}{4}$+α），∴cos2α=2sin（$\frac{π}{4}$+α），
∴（cosα+sinα）•（cosα-sinα）=$\sqrt{2}$（cosα+sinα），
∴cosα+sinα=0，或cosα-sinα=$\sqrt{2}$（不合題意，舍去），
∴α=$\frac{3π}{4}$，∴2α=$\frac{3π}{2}$，∴sin2α=sin$\frac{3π}{2}$=-1，
故答案為：-1．

點(diǎn)評 本題主要考查兩角和差的正弦、余弦公式的應(yīng)用，二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．