Question

設(shè)(是自然對數(shù)的底數(shù)，)，且．

（1）求實數(shù)的值，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，對任意，恒有成立．求實數(shù)的取值范圍；

（3）若正實數(shù)滿足，，試證明：；并進(jìn)一步判斷：當(dāng)正實數(shù)滿足，且是互不相等的實數(shù)時，不等式是否仍然成立．

 

Answer 1

（1）參考解析;（2）;（3）成立,參考解析

【解析】

試題分析：（1）由(是自然對數(shù)的底數(shù)，)，且,即可求出.再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的值即可求出單調(diào)區(qū)間.

（2）對任意，恒有成立,通過去分母,整理成兩個函數(shù)的單調(diào)性的問題即，則在上單調(diào)遞增,又,再通過求導(dǎo)即可得到m的取值范圍.

（3）若正實數(shù)滿足，，則.通過代入函數(shù)關(guān)系式消元再用基本不等式即可得到結(jié)論.當(dāng)，且是互不相等的實數(shù)時，不等式是否仍然成立.有數(shù)學(xué)歸納法證明,當(dāng)n=k+1時利用轉(zhuǎn)化為k項的形式.再通過構(gòu)造即可得到結(jié)論.

（1）∵，，故． 1分

令得；令得. 3分

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為． 4分

（2）由變形得：． 5分

令函數(shù)，則在上單調(diào)遞增. 6分

即在上恒成立. 7分

而（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）

所以． 9分

（3）證明：不妨設(shè)，由得：

其中，故上式的符號由因式“”的符號確定．

令，則函數(shù)．

，其中，得，故．即在上單調(diào)遞減，且．所以．

從而有成立．

該不等式能更進(jìn)一步推廣：

已知，是互不相等的實數(shù)，若正實數(shù)滿足，則．

下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：

i）當(dāng)時，由（2）證明可知上述不等式成立；

ii）假設(shè)當(dāng)時，上述不等式成立．即有：．

則當(dāng)時，由得：，于是有：

．

在該不等式的兩邊同時乘以正數(shù)可得：．

在此不等式的兩邊同時加上又可得：．

該不等式的左邊再利用i）的結(jié)論可得：．整理即得：．

所以，當(dāng)時，上述不等式仍然成立．

綜上，對上述不等式都成立． 14分

考點：1.函數(shù)單調(diào)性.2.構(gòu)造新函數(shù)的思想.3.數(shù)學(xué)歸納法.