Question

16．已知函數(shù)f（x）=sin（x-$\frac{1}{2}$），當(dāng)0＜x＜1時(shí)，不等式f（x）•${log_2}（x-{2^m}+\frac{5}{4}）$＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-2]．

Answer 1

分析 首先判斷f（x）＞0在定義域上恒成立；有 $lo{g}_{2}（x-{2}^{m}+\frac{5}{4}）$＞0，即x-2^m+$\frac{5}{4}$＞1恒成立，則x＞2^m-$\frac{1}{4}$恒成立．

解答 解：由題意知：f'（x）=cosx-$\frac{1}{2}$，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0，即函數(shù)f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，此時(shí)f（0）=0；
又不等式f（x）•$lo{g}_{2}（x-{2}^{m}+\frac{5}{4}）$＞0恒成立．
∴$lo{g}_{2}（x-{2}^{m}+\frac{5}{4}）$＞0，即x-2^m+$\frac{5}{4}$＞1恒成立，則x＞2^m-$\frac{1}{4}$恒成立，
∵0＜x＜1，
∴2^m-$\frac{1}{4}$≤0⇒m≤-2．
故答案為：（-∞，-2]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值，不等式與對(duì)數(shù)的基礎(chǔ)運(yùn)算，屬于中等題．