Question

6．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）過點（2，1），直線l過點P（0，-1）與拋物線C交于A、B兩點，點A關于y軸的對稱點為A′，連接A′B
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）問直線A'B是否過定點？若是，求長定點坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用點的坐標在曲線上，代入求解即可．
（2）設直線l的方程為y=kx-1，又設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A'（-x₁，y₁），聯立直線與拋物線方程，利用韋達定理以及判別式，求出直線的斜率，推出直線方程，利用直線系求解即可．

解答 解：（1）將點（2，1）代入拋物線x²=2py的方程得，p=2，
所以，拋物線C的標準方程為x²=4y．                   …（4分）
（2）設直線l的方程為y=kx-1，又設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A'（-x₁，y₁），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x^2}}\\{y=kx-1}\end{array}}\right.$得x²-4kx+4=0，則△=16k²-16＞0，x₁•x₂=4，x₁+x₂=4k，
所以${k_{A'B}}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-（-{x_1}）}}=\frac{{\frac{{{x_2}^2}}{4}-\frac{{{x_1}^2}}{4}}}{{{x_1}+{x_2}}}=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{4}$，
于是直線A'B的方程為$y-\frac{{{x_2}^2}}{4}=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{4}（x-{x_2}）$，…（8分）
所以，$y=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{4}（x-{x_2}）+\frac{{{x_2}^2}}{4}=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{4}x+1$，當x=0時，y=1，
所以直線A'B過定點（0，1）．     …（10分）

點評 本題考查拋物線方程的求法，直線與拋物線的位置關系，直線系方程的應用，考查轉化思想以及計算能力．