Question

1．已知實數a，b，c，滿足a²+b²+c²=1，則ab+bc+ca的取值范圍是[$-\frac{1}{2}，1$]．

Answer 1

分析 由題意ab+bc+ca=$\frac{2ab+2bc+2ac}{2}$分別利用基本不等式的性質即可求解．

解答 解：由題意：a²+b²+c²=1
那么：ab+bc+ca=$\frac{2ab+2bc+2ac}{2}$≤$\frac{1}{2}$（a²+b²+b²+c²+a²+c²）=$\frac{1}{2}×2$=1，當且僅當a=b=c時取等號．
又a²+b²+b²+2（ab+bc+ca）=（a+b+c）²≥0，當且僅當a=b=c時取等號．
∴1+2（ab+bc+ca）≥0，
∴ab+bc+ca≥-$\frac{1}{2}$
所以得ab+bc+ca的取值范圍是[$-\frac{1}{2}，1$]；
故答案為[$-\frac{1}{2}，1$]．

點評 本題主要考查了基本不等式的性質的變形運用能力，屬于基礎題．