7.已知正項數(shù)列{an}滿足a1=2且(n+1)an2+anan+1-nan+12=0(n∈N*
(Ⅰ)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
(Ⅱ)若記bn=$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn

分析 (I)由(n+1)an2+anan+1-nan+12=0(n∈N*),變形得:(an+an+1)[(n+1)an-nan+1]=0,由于{an}為正項數(shù)列,可得$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{n+1}{n}$,利用累乘法可得an,再利用等差數(shù)列的通項公式即可證明.
(II)利用“裂項求和方法”即可得出.

解答 (I)證明:由(n+1)an2+anan+1-nan+12=0(n∈N*),
變形得:(an+an+1)[(n+1)an-nan+1]=0,
由于{an}為正項數(shù)列,∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{n+1}{n}$,
利用累乘法得:${a_n}=2n(n∈{N^*})$從而得知:數(shù)列{an}是以2為首項,以2為公差的等差數(shù)列.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知:${b_n}=\frac{4}{2n•2(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,
從而${S_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+…+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})$=$1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$.

點評 本題考查了數(shù)列遞推關系、等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和方法”,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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A.B.C.D.

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