Question

1．已知數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+2n（n∈N₊）．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=n²+2n（n∈N₊）．可得n=1時(shí)，b₁=3；n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1．
（2）由（1）可得$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$．利用“裂項(xiàng)求和方法”即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=n²+2n（n∈N₊）．∴n=1時(shí)，b₁=3；n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1．
n=1時(shí)也成立，∴b_n=2n+1．
（2）由（1）可得$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}$$[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴${T_n}=\frac{n}{6n+9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．