Question

9．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=$\frac{1}{3}$AD，PA⊥底面ABCD，過(guò)AB的平面交PD于AB，交PC于N（N與A不重合）．
（Ⅰ）求證：MN∥BC；
（Ⅱ）如果BM⊥AC，求此時(shí)$\frac{PM}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BC∥平面PAD，利用線面平行的性質(zhì)定理證明MN∥BC；
（Ⅱ）過(guò)M作MK∥PA交AD于K，連結(jié)BK，證明AC⊥BK．知$AK=\frac{1}{3}AD$，即可求此時(shí)$\frac{PM}{PD}$的值．

解答 （Ⅰ）證明：因?yàn)樘菪蜛BCD，且BC∥AD，
又因?yàn)锽C?平面PAD，AB?平面PAD，
所以BC∥平面PAD．
因?yàn)槠矫鍮CNM∩平面PAD=MN，
所以MN∥BC． …（4分）
（Ⅱ）解：過(guò)M作MK∥PA交AD于K，連結(jié)BK．
因?yàn)镻A⊥底面ABCD，
所以MK⊥底面ABCD
所以MK⊥AC．
又因?yàn)锽M⊥AC，BM∩MK=M
所以AC⊥平面BMK，
所以AC⊥BK．
知$AK=\frac{1}{3}AD$，
所以$\frac{PM}{PD}=\frac{1}{3}$．    …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，考查線面垂直，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．