Question

4．[A]已知數(shù)列{a_n}滿足a₄=20，a_n+1=2a_n-n+1（n∈N⁺）．
（1）計(jì)算a₁，a₂，a₃，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想a_n的表達(dá)式（不必證明）；
（2）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n＞2016，求n的最小值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=3、2和1，分別求得a₃=11，a₂=6和a₁a₁=3，猜想${a}_{n}=n+{2}^{n}$；
（2）根據(jù)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，寫出前n項(xiàng)和公式，$\frac{{n}^{2}+n}{2}$+2ⁿ⁺¹-2＞2016，解得n的取值范圍．

解答 解：當(dāng)n=3時(shí)，a₄=2a₃-3+1=20，a₃=11，
當(dāng)n=2時(shí)，a₃=2a₂-2+1=11，a₂=6，
當(dāng)n=1時(shí)，a₂=2a₁-1+1=6，a₁=3；
猜想${a}_{n}=n+{2}^{n}$（n∈N^*）
（2）由（1）得${a}_{n}=n+{2}^{n}$，a₁=3，
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，
=（1+2）+（2+2²）+（3+2³）+…+（n+2ⁿ），
=（1+2+3+…+n）+（2+2²+2³+…+2ⁿ），
=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$+2ⁿ⁺¹-2，
∵S_n＞2016，$\frac{{n}^{2}+n}{2}$+2ⁿ⁺¹-2＞2016，
∴n≥10，
n的最小值為10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，根據(jù)前n項(xiàng)猜想寫出通項(xiàng)公式及等比和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題．