Question

設(shè)函數(shù)．

（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最小值；

（2）若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）a的最小值為;（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)f (x)在上為減函數(shù)，得到在上恒成立．轉(zhuǎn)化成時(shí)，．

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)確定其最大值為．

（2）應(yīng)用“轉(zhuǎn)化與化歸思想”，對(duì)命題進(jìn)行一系列的轉(zhuǎn)化，“若存在使成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，有”．

由（1）問題等價(jià)于：“當(dāng)時(shí)，有”．

討論①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)<時(shí)， ，作出結(jié)論.

（1）由已知得x＞0，x≠1．

因f (x)在上為減函數(shù)，故在上恒成立． 1分

所以當(dāng)時(shí)，．

又， 2分

故當(dāng)，即時(shí)，．

所以于是，故a的最小值為． 4分

（2）命題“若存在使成立”等價(jià)于

“當(dāng)時(shí)，有”． 5分

由（1），當(dāng)時(shí)，，．

問題等價(jià)于：“當(dāng)時(shí)，有”． 6分

①當(dāng)時(shí)，由（1），在上為減函數(shù)，

則=，故． 8分

②當(dāng)<時(shí)，由于在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718583811965257/SYS201411171858464480743607_DA/SYS201411171858464480743607_DA.033.png">

（�。�，即，在恒成立，故在上為增函數(shù)，

于是，，矛盾． 10分

（ⅱ），即，由的單調(diào)性和值域知，

存在唯一，使，且滿足：

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；

所以，， 12分

所以，，與矛盾． 13分

綜上，得 14分

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論思想，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題.