Question

求圓心在拋物線x²=4y上，且與直線x+2y+1=0相切的面積最小的圓的方程

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)與直線x+2y+1=0平行且與拋物線相切于點(diǎn)P(m，

m2

4

)的直線方程為x+2y+t=0．由拋物線x²=4y，可得y′=

1

2

x，利用

1

2

m=-

1

2

，解得m=-1，可得切點(diǎn)P(-1，

1

4

)．
利用平行線之間的距離公式可得半徑，即可得出．

解答： 解：設(shè)與直線x+2y+1=0平行且與拋物線相切于點(diǎn)P(m，

m2

4

)的直線方程為x+2y+t=0．
由拋物線x²=4y，可得y′=

1

2

x，∴

1

2

m=-

1

2

，解得m=-1，
∴切點(diǎn)P(-1，

1

4

)．
代入x+2y+t=0．解得t=

1

2

．
∴圓的半徑r=

| 1 2 -1|

5

=

1

2 5

．
∴與直線x+2y+1=0相切的面積最小的圓的方程為(x+1)2+(y-

1

4

)2=

1

20

．
故答案為：(x+1)2+(y-

1

4

)2=

1

20

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與拋物線相切的性質(zhì)、圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式、平行線之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．