Question

【題目】函數(shù)f（x）＝xlnx－a（x－1）2－x，g（x）＝lnx－2a（x－1），其中常數(shù)a∈R．

（Ⅰ）討論g（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）當a＞0時，若f（x）有兩個零點x1，x2（x1＜x2），求證：在區(qū)間（1，＋∞）上存在f（x）的極值點x0，使得x0lnx0＋lnx0－2x0＞0．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析 （Ⅱ）x0＝e2

【解析】試題分析：（Ⅰ） 討論a與0的大小；（Ⅱ）由第一問得當a＞0時，在區(qū)間（0，1]上，f（x）＜0是顯然的，即在此區(qū)間上f（x）沒有零點；又由于f（x）有兩個零點，則必然f（x）在區(qū)間（1，＋∞）上有兩個零點x1，x2（x1＜x2），討論與1的大小，構(gòu)造函數(shù)解出的值；

試題解析：

（Ⅰ）解：函數(shù)g（x）的定義域為（0，＋∞），導函數(shù)為．

①當a≤0時，g′（x）＞0恒成立，g（x）在定義域（0，＋∞）上是增函數(shù)；

②當a＞0時， ，并且，

在區(qū)間（0， ）上，g′（x）＞0，∴g（x）在（0， ）是增函數(shù)；

在區(qū)間（，＋∞）上，g′（x）＜0，∴g（x）在區(qū)間（，＋∞）上是減函數(shù)．

（Ⅱ）證明：當a＞0時，在區(qū)間（0，1]上，f（x）＜0是顯然的，即在此區(qū)間上f（x）沒有零點；又由于f（x）有兩個零點，則必然f（x）在區(qū)間（1，＋∞）上有兩個零點x1，x2（x1＜x2），

f′（x）＝lnx－2a（x－1），由（Ⅰ）知，f′（x）在區(qū)間（0， ）上是增函數(shù)，在區(qū)間（，＋∞）上是減函數(shù)．

①若，則，在區(qū)間（1，＋∞）上，f′（x）是減函數(shù)，f′（x）≤f′（1）＝0，f（x）在（1，＋∞）上單調(diào)遞減，不可能有兩個零點，所以必然有．

②當時，在區(qū)間（1， ）上，f′（x）是增函數(shù)，f′（x）＞f′（1）＝0；

在區(qū)間（，＋∞）上，f′（x）是減函數(shù)．依題意，必存在實數(shù)x0，使得在區(qū)間（，x0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；在區(qū)間（x0，＋∞）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．此時x0＞1，且x0是f（x）的極大值點．

所以f（x0）＞0，且f′（x0）＝0，即消去a得到x0lnx0＋lnx0－2x0＞0（x0＞1）．

設F（x）＝xlnx＋lnx－2x（x＞1），．

∵，∴x＞1時，F(xiàn)′（x）單調(diào)遞增．又F′（1）＝0，

∴x＞1時，F(xiàn)′（x）＞0．∴x＞1時，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增．

又F（1）＝－2＜0，F(xiàn)（e2）＝2＞0．∴存在x0＝e2＞1滿足題意．

亦可直接觀察得到，x0＝e2時，e2lne2＋lne2－2e2＝2＞0，滿足題意．

點睛: 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值，考查了分類討論的思想，屬于難題.證明不等式往往是根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，本題中因為導函數(shù)的零點不能直接求出，可通過設出零點，再證明函數(shù)在其兩側(cè)的單調(diào)性，說明其為最小值點，證其大于零.