【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2|x﹣a|(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),求a的值;
(2)當a>0時,若對任意的x∈[0,+∞),不等式f(x﹣1)≤2f(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:由函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)可知,

對任何x都有f(﹣x)=f(x),

得:(﹣x)2﹣2|﹣x﹣a|=x2﹣2|x﹣a|,

即|x+a|=|x﹣a|對任何x恒成立,

平方得:4ax=0對任何x恒成立,

而x不恒為0,則a=0;


(2)解:將不等式f(x﹣1)≤2f(x),

化為(x﹣1)2﹣2|x﹣1﹣a|≤2x2﹣4|x﹣a|,

即 4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x2+2x﹣1(*)對任意x∈[0,+∞)恒成立,

1)當0≤x≤a 時,將不等式(*)可化為 x2+4x+1﹣2a≥0,

對0≤x≤a上恒成立,則g(x)=x2+4x+1﹣2a 在(0,a]為單調(diào)遞增,

只需g(x)min=g(0)=1﹣2a≥0,得0<a≤

2)當 a<x≤a+1時,將不等式(*)可化為x2﹣4x+1+6a≥0,

對a<x≤a+1上恒成立,由(1)可知0<a≤ ,

則h(x)=x2﹣4x+1+6a 在(a,a+1]為單調(diào)遞減,

只需h(x)min=h(a+1)=a2+4a﹣2≥0 得:a≤﹣ ﹣2或a≥ ﹣2,

即: ﹣2≤a≤ ;

3)當 x>a+1時,將不等式(*)可化為x2+2a﹣3≥0對x>a+1恒成立

則t(x)=x2+2a﹣3 在(a+1,+∞) 為單調(diào)遞增,

由(2)可知 ﹣2≤a≤ 都滿足要求.

綜上:實數(shù)的取值范圍為: ﹣2≤a≤


【解析】(1)由偶函數(shù)的定義,化簡整理,由恒成立思想可得a=0;(2)將不等式f(x﹣1)≤2f(x),化為(x﹣1)2﹣2|x﹣1﹣a|≤2x2﹣4|x﹣a|,即 4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x2+2x﹣1對任意x∈[0,+∞)恒成立,對x討論:(1)當0≤x≤a時,(2)當a<x≤a+1時,(3)當x>a+1時,去掉絕對值,由二次函數(shù)的最值求法,可得最小值,解不等式即可得到a的范圍.

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