Question

已知圓C₁：（x-2cosθ）²+（y-2sinθ）²=1與圓C₂：x²+y²=1，在下列說(shuō)法中：
①對(duì)于任意的θ，圓C₁與圓C₂始終有四條公切線；
②對(duì)于任意的θ，圓C₁與圓C₂始終相切；
③P，Q分別為圓C₁與圓C₂上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最大值為4．
④直線l：2（m+3）x+3（m+2）y-（2m+5）=0（m∈R）與圓C₂一定相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)；
其中正確命題的序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：由題意可得C₁（2cosθ，2sinθ），C₂（0，0），兩圓的半徑都是1，根據(jù)圓心距d=2，正好等于半徑之和，可得兩圓相外切，從而得到①不正確、②③正確．再根據(jù)直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（

1

2

，

1

3

）．而點(diǎn)M在圓C₂：x²+y²=1的內(nèi)部，可得④正確，從而得出結(jié)論．

解答： 解：由題意可得C₁（2cosθ，2sinθ），C₂（0，0），兩圓的半徑都是1，
由于圓心距d=

(2cosθ-0)2+(2sinθ-0)2

=2，正好等于半徑之和，可得兩圓相外切，
故對(duì)于任意的θ，圓C₁與圓C₂始終有三條公切線，圓C₁與圓C₂始終相切，
若P，Q分別為圓C₁與圓C₂上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最大值為4，故①不正確、②③正確．
由于直線l：2（m+3）x+3（m+2）y-（2m+5）=0（m∈R），即 （6x+6y-5）+m（2x+3y-2）=0，
由

6x+6y-5=0 2x+3y-2=0

，求得

x= 1 2 y= 1 3

，故直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（

1

2

，

1

3

）．
而點(diǎn)M在圓C₂：x²+y²=1的內(nèi)部，故直線l與圓C₂一定相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓和圓的位置關(guān)系，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．