Question

在平面直角坐標系中，已知A（-1，2），B（0，x₂+2），C（x+2tanθ-1，y+3）三點共線．θ為常數且θ∈（-

π

2

，

π

2

）．
（1）求y關于x的函數y=f （x）的表達式；
（2）是否存在常數tanθ，使函數y=f （x）在[-1，

3

]上的最小值為tanθ？如果存在，求出tanθ，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由兩個向量共線的性質求得y關于x的函數y=f （x）的表達式．
（2 ）函數f（x）的對稱軸為x=-tanθ，利用二次函數的性質，分類討論求得使函數y=f （x）在[-1，

3

]上的最小值為tanθ時的tanθ的值．

解答：解：（1）由于已知A（-1，2），B（0，x₂+2），C（x+2tanθ-1，y+3），
故有

AB

=(1，x)，

AC

=(x+2tanθ，y+1)．
∵A，B，C三點共線，

AB

∥

AC

，故有 y+1=x（x+2tanθ），即 y=f（x）=x²+2tanθ•x-1．…（4分）
（2 ）函數f（x）的對稱軸為x=-tanθ，
①當-tanθ＞

3

時，即tanθ＜-

3

，當x=

3

時，函數f（x）取得
最小值為 2+2

3

tanθ=tanθ，解得 tanθ=-

4 3 +2

11

＞-

3

（舍）． …（6分）
②當-1≤-tanθ≤

3

時，即-

3

≤tanθ≤1時，則當x=-tanθ時，
f（x）的最小值為-tan²θ-1=tanθ，故 tan²θ+tanθ+1=0，tanθ無解．…（8分）
③當-tanθ＜-1時，即tanθ＞1時，則當x=-1時，f（x）的最小值為-2tanθ=tanθ，解得tanθ=0＜1（舍）． …（10分）
綜上：不存在常數tanθ，使函數y=f（x）在[-1，

3

]上的最小值為tanθ．…（12分）

點評：本題主要考查兩個向量共線的性質，求三角函數的最值，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．