Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3﹣3x；
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[﹣3，2]上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x3﹣3x，

∴f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．

令 f'（x）=0，得x=﹣1，x=1．

若 x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），則f'（x）＞0，

故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函數(shù)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，

若 x∈（﹣1，1），則f'（x）＜0，

故f（x）在（﹣1，1）上是減函數(shù)；

（2）解：∵f（﹣3）=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（2）=2，

∴當x=﹣3時，f（x）在區(qū)間[﹣3，2]取到最小值為﹣18．

∴當x=﹣1或2時，f（x）在區(qū)間[﹣3，2]取到最大值為2．

【解析】（1）先求出函數(shù)f（x）=x3﹣3x的導函數(shù)f′（x），分別令f′（x）＞0和f′（x）＜0便可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）分別求出兩個短點f（﹣3）和f（2）的值以及極值f（﹣1）和f（1）的值，比較一下便可求出f（x）在區(qū)間[﹣3，2]上的最大值和最小值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．