Question

a，b，c∈（0，

π

2

），且a=cosa，b=cos（sinb），c=sin（cosc），判斷大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)線

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：證明當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，sinx＜x；同理可證明f（x）=sin（cosx）-x為（0，

π

2

）上的減函數(shù)，即可判斷大小．

解答： 解：先證明當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，sinx＜x
設(shè)y=sinx-x，則y′=cosx-1＜0，∴y=sinx-x為（0，

π

2

）上的減函數(shù)，∴y＜sin0-0=0，即sinx＜x
同理可證明f（x）=sin（cosx）-x為（0，

π

2

）上的減函數(shù)，g（x）=cos（sinx）-x為（0，

π

2

）上的減函數(shù)
∵sina＜a
∴cos（sina）-a=cos（sina）-cosa＞0，而cos（sinc）-c=0，
∴g（a）＞g（c），a、c∈（0，

π

2

），
∴a＜c
同理∵x∈（0，

π

2

）時(shí)，sinx＜x，∴sin（cosa）＜cosa
∴sin（cosa）-a=sin（cosa）-cosa＜0，而sin（cosb）-b=0
∴f（a）＜f（b），a、b∈（0，

π

2

），
∴a＞b
綜上所述，b＜a＜c．

點(diǎn)評(píng)：本題考查大小比較，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，確定函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．