Question

10．已知等比數(shù)列{a_n}中，a₁•a₃=4a₂，a₅=32．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解方程可得首項(xiàng)和公比，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求得b_n=log₂a_n=log₂2ⁿ=n，$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由a₁•a₃=4a₂，a₅=32，可得
a₁²q²=4a₁q，a₁q⁴=32，
解得a₁=2，q=2，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；
（2）b_n=log₂a_n=log₂2ⁿ=n，
$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
前n項(xiàng)和T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．