Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1+λan ， 其中λ≠0．
（1）證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式；
（2）若S5= ，求λ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵Sn=1+λan，λ≠0．

∴an≠0．

當(dāng)n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=1+λan﹣1﹣λan﹣1=λan﹣λan﹣1，

即（λ﹣1）an=λan﹣1，

∵λ≠0，an≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，

即 = ，（n≥2），

∴{an}是等比數(shù)列，公比q= ，

當(dāng)n=1時，S1=1+λa1=a1，

即a1= ，

∴an= （ ）n﹣1

（2）

解：若S5= ，

則若S5=1+λ（ （ ）4= ，

即（ ）5= ﹣1=﹣ ，

則 =﹣ ，得λ=﹣1

【解析】（1）根據(jù)數(shù)列通項公式與前n項和公式之間的關(guān)系進行遞推，結(jié)合等比數(shù)列的定義進行證明求解即可．（2）根據(jù)條件建立方程關(guān)系進行求解就可．本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1的關(guān)系進行遞推是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運算和推理能力．
【考點精析】本題主要考查了等比關(guān)系的確定和數(shù)列的通項公式的相關(guān)知識點，需要掌握等比數(shù)列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能正確解答此題．