【題目】設(shè)橢圓C:的左、右焦點(diǎn)分別為、,上頂點(diǎn)為A,在x軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)B,滿足為線段的中點(diǎn),且AB⊥。
(I)求橢圓C的離心率;
(II)若過A、B、三點(diǎn)的圓與直線:相切,求橢圓C的方程;
(III)在(I)的條件下,過右焦點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)P(m,0)使得以PM,PN為鄰邊的平行四邊形是菱形?如果存在,求出m的取值范圍;如果不存在,說明理由。
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)。
【解析】分析:(Ⅰ)由題意可得在在直角三角形中有,即,整理可得.(Ⅱ)由題意可得過A、B、F2三點(diǎn)的圓的圓心為F1(-c,0),半徑r=
=2c,根據(jù)直線與圓相切可得,解得c=1,從而,,可得橢圓的方程.(Ⅲ)由條件可設(shè)直線MN的方程為,與橢圓方程聯(lián)立消元后得到一元二次方程,結(jié)合根據(jù)系數(shù)的關(guān)系可得MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,若以PM,PN為鄰邊的平行四邊形是菱形,則,由此得到,整理得,最后可求得.
詳解:(I)∵AB⊥AF2,為的中點(diǎn),
∴
∵,
∴,
∴,
即橢圓C的離心率為.
(II)過A、B、F2三點(diǎn)的圓的圓心為F1(-c,0),半徑r==2c.
∵直線:相切,
∴,
解得c=1.
又,
∴,
∴.
∴橢圓C的方程為.
(III)由(I)知,F2(1,0),直線MN的方程為,
由 消去y整理得
∵直線與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),
∴.
設(shè)M(,),N(,),
則
∴,
∴MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,
若以PM,PN為鄰邊的平行四邊形是菱形,
則,
∴
整理得,
∵,
∴.
∴.
故存在滿足題意的點(diǎn)P,且m的取值范圍是(.
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【題目】一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號為1,2,3,4,5的5張標(biāo)簽,隨機(jī)地依次選取兩張標(biāo)簽,根據(jù)下列條件求兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相等整數(shù)的概率;
(1)標(biāo)簽的選取是不放回的;
(2)標(biāo)簽的選取是有放回的.
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月份 | ||||||
銷售單價(jià)(元) | ||||||
銷售量(千件) |
(1)根據(jù)1至月份的數(shù)據(jù),求關(guān)于的線性回歸方程(系數(shù)精確到);
(2)結(jié)合(1)中的線性回歸方程,假設(shè)該型號電視機(jī)零配件的生產(chǎn)成本為每件元,那么工廠如何制定月份的銷售單價(jià),才能使該月利潤達(dá)到最大(計(jì)算結(jié)果精確到)?
參考公式:回歸直線方程,其中.
參考數(shù)據(jù):.
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【題目】如圖,拋物線的焦點(diǎn)為,拋物線上兩點(diǎn),在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為.
(1)如圖,若點(diǎn)在線段上,過作的平行線與拋物線準(zhǔn)線交于,證明:是的中點(diǎn);
(2)如圖,若的面積是的面積的兩倍,求中點(diǎn)的軌跡方程.
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【題目】某品牌計(jì)算機(jī)售后保修期為1年,根據(jù)大量的維修記錄資料,這種品牌的計(jì)算機(jī)在使用一年內(nèi)需要維修1次的占15%,需要維修2次的占6%,需要維修3次的占4%.
(1)某人購買了一臺這個(gè)品牌的計(jì)算機(jī),設(shè)=“一年內(nèi)需要維修k次”,k=0,1,2,3,請?zhí)顚懴卤恚?/span>
事件 | ||||
概率 |
事件是否滿足兩兩互斥?是否滿足等可能性?
(2)求下列事件的概率:
①A=“在1年內(nèi)需要維修”;
②B=“在1年內(nèi)不需要維修”;
③C=“在1年內(nèi)維修不超過1次”.
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【題目】已知點(diǎn)F為拋物線C:x2=2py (p>0) 的焦點(diǎn),點(diǎn)A(m,3)在拋物線C上,且|AF|=5,若點(diǎn)P是拋物線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P到直線的距離為,設(shè)點(diǎn)P到直線的距離為.
(1)求拋物線C的方程;
(2) 求的最小值;
(3)求的最小值.
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【題目】某高中嘗試進(jìn)行課堂改革.現(xiàn)高一有兩個(gè)成績相當(dāng)?shù)陌嗉,其?/span>班級參與改革,班級沒有參與改革.經(jīng)過一段時(shí)間,對學(xué)生學(xué)習(xí)效果進(jìn)行檢測,規(guī)定成績提高超過分的為進(jìn)步明顯,得到如下列聯(lián)表.
進(jìn)步明顯 | 進(jìn)步不明顯 | 合計(jì) | |
班級 | |||
班級 | |||
合計(jì) |
(1)是否有的把握認(rèn)為成績進(jìn)步是否明顯與課堂是否改革有關(guān)?
(2)按照分層抽樣的方式從班中進(jìn)步明顯的學(xué)生中抽取人做進(jìn)一步調(diào)查,然后從人中抽人進(jìn)行座談,求這人來自不同班級的概率.
附:,當(dāng)時(shí),有的把握說事件與有關(guān).
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【題目】某少兒游泳隊(duì)需對隊(duì)員進(jìn)行限時(shí)的仰臥起坐達(dá)標(biāo)測試.已知隊(duì)員的測試分?jǐn)?shù)與仰臥起坐
個(gè)數(shù)之間的關(guān)系如下:;測試規(guī)則:每位隊(duì)員最多進(jìn)行三組測試,每組限時(shí)1分鐘,當(dāng)一組測完,測試成績達(dá)到60分或以上時(shí),就以此組測試成績作為該隊(duì)員的成績,無需再進(jìn)行后續(xù)的測試,最多進(jìn)行三組;根據(jù)以往的訓(xùn)練統(tǒng)計(jì),隊(duì)員“喵兒”在一分鐘內(nèi)限時(shí)測試的頻率分布直方圖如下:
(1)計(jì)算值;
(2)以此樣本的頻率作為概率,求
①在本次達(dá)標(biāo)測試中,“喵兒”得分等于的概率;
②“喵兒”在本次達(dá)標(biāo)測試中可能得分的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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