Question

5．若a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且acosC+$\sqrt{3}$asinC=b+c，則角A的大小為（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{5π}{6}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡已知的式子，由內(nèi)角的范圍、輔助角公式化簡，由A的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出A．

解答 解：由題意得，acosC+$\sqrt{3}$asinC=b+c，
由正弦定理得，sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC
∵B=π-（A+C），∴sinB=sin（A+C），
代入上式化簡得，$\sqrt{3}$sinAsinC=cosAsinC+sinC
∵0＜C＜π，即sinC≠0，∴$\sqrt{3}$sinA=cosA+1，
∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，則sin（$A-\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴$-\frac{π}{6}＜A-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
則$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$，
故選：B．

點評 本題考查正弦定理，誘導(dǎo)公式、兩角和與差的正弦公式的綜合應(yīng)用，注意內(nèi)角的范圍，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．