Question

1．直線l的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=a，曲線C參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），已知C與l有且只有一個公共點．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）過P點作平行于l的直線交C于A，B兩點，且|PA|•|PB|=3，求點P軌跡的直角坐標方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，兩角和的正弦公式，可得直線l的直角坐標方程；運用同角的平方關(guān)系，可得曲線C的普通方程，再由直線和圓相切的條件：d=r，由點到直線的距離公式，可得a的值；
（Ⅱ）設點P（x₀，y₀）及過點P且與l平行的直線為L₁：$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y={y}_{0}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），代入曲線C的方程，由韋達定理和參數(shù)的幾何意義，結(jié)合條件可得P的軌跡方程，注意條件的限制．

解答 解：（Ⅰ）ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=a，即為ρ（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ）=a，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
可得直線l的直角坐標方程為$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$y=a，
曲線C參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
由同角的平方關(guān)系，消去參數(shù)θ，可得曲線C：x²+y²=1，
由C與l有且只有一個公共點，即直線和圓相切，
可得圓心（0，0）到直線的距離為d=$\frac{|0+0+a|}{\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}}$=1，
解得a=±1；
（Ⅱ）設點P（x₀，y₀）及過點P且與l平行的直線為L₁：$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y={y}_{0}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），
由直線L₁與曲線C：x²+y²=1相交可得：t²-$\sqrt{2}$（x₀+y₀）t+x₀²+y₀²-1=0，
即有t₁t₂=x₀²+y₀²-1，
因為|PA|•|PB|=3，
所以|x₀²+y₀²-1|=3，即x₀²+y₀²=4，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$可得2x²-2mx+m²-1=0，
由△=4m²-4×2（m²-1）＞0，解得-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$，
點P的軌跡的直角坐標方程為x²+y²=4（夾在兩直線y=-x±$\sqrt{2}$之間的兩段圓�。�．

點評 本題考查極坐標方程和直角坐標方程的互化、參數(shù)方程和普通方程的互化，考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷和應用，考查直線的參數(shù)方程的運用，屬于中檔題．