Question

10．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P是橢圓上不同于A，B的任一點(diǎn)，直線AP、BP分別與直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$交于M，N兩點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，則∠MFN等于90°．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求出A，B的坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，寫出AP，BP所在直線方程，求出M，N的坐標(biāo)，由$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}=0$可得∠MFN=90°．

解答 解：如圖A（-a，0），B（a，0），設(shè)P（x₀，y₀），
則${k}_{PA}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，直線PA：$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}（x+a）$，
∴M（$\frac{{a}^{2}}{c}，\frac{a{y}_{0}（a+c）}{c（{x}_{0}+a）}$），
${k}_{PB}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$，直線PB：$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}（x-a）$，
∴N（$\frac{{a}^{2}}{c}，\frac{a{y}_{0}（a-c）}{c（{x}_{0}-a）}$）．
則$\overrightarrow{FM}=（\frac{a{y}_{0}（a+c）}{c（{x}_{0}+a）}，\frac{^{2}}{c}）$，$\overrightarrow{FN}=（\frac{a{y}_{0}（a-c）}{c（{x}_{0}-a）}，\frac{^{2}}{c}）$，
∵$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}=\frac{{a}^{2}{{y}_{0}}^{2}^{2}}{{c}^{2}（{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}）}+\frac{^{4}}{{c}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}（-\frac{^{2}}{{a}^{2}}）+\frac{^{4}}{{c}^{2}}=0$．
∴$\overrightarrow{FM}⊥\overrightarrow{FN}$，即∠MFN=90°．
故答案為：90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了學(xué)生綜合處理問題解決問題的能力，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，是中檔題．