Question

【題目】如果定義在上的函數(shù)，對任意的，都有， 則稱該函數(shù)是“函數(shù)”．

（I）分別判斷下列函數(shù)：①；②； ③，是否為“函數(shù)”？（直接寫出結(jié)論）

（II）若函數(shù)是“函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍．

（III）已知是“函數(shù)”，且在上單調(diào)遞增，求所有可能的集合與

Answer 1

【答案】（I）①、②是“函數(shù)”，③不是“函數(shù)”; （II）的取值范圍為;

（III），

【解析】

試題（1）根據(jù)“β函數(shù)”的定義判定．①、②是“β 函數(shù)”，③不是“β函數(shù)”；（2）由題意，對任意的x∈R，f（﹣x）+f（x）≠0，故f（﹣x）+f（x）=2cosx+2a由題意，對任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx即可得實數(shù)a的取值范圍（3）對任意的x≠0，分（a）若x∈A且﹣x∈A，（b）若x∈B且﹣x∈B，驗證。

（I）①、②是“函數(shù)”，③不是“函數(shù)”．

（II）由題意，對任意的，，即．

因為，所以．

故．

由題意，對任意的，，即．

故實數(shù)的取值范圍為．

（Ⅲ）（）對任意的

（a）若且，則，，這與在上單調(diào)遞增矛盾，（舍），

（b）若且，則，這與是“函數(shù)”矛盾，（舍）．

此時，由的定義域為，故對任意的，與恰有一個屬于，另一個屬于．

（） 假設(shè)存在，使得，則由，故．

（a）若，則，矛盾，

（b）若，則，矛盾．

綜上，對任意的，，故，即，則．

（）假設(shè)，則，矛盾．故

故，．

經(jīng)檢驗，．符合題意