Question

1．某地為了改善居民的居住環(huán)境，爭創(chuàng)國家衛(wèi)生城市，在市民意見網(wǎng)站發(fā)布一項調(diào)查，每個住戶在調(diào)研所居住的環(huán)境衛(wèi)生后進行自主打分，最高分是10分．上個月該網(wǎng)站共有100個住戶進行了打分，所有住戶打分的平均分作為居民對該城市衛(wèi)生現(xiàn)狀滿意度的參考分值，將這些打分結(jié)果分成以下幾組：第一組[0，2），第二組[2，4），第三組[4，6），第四組[6，8），第五組[8，10]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）分別求第三、四、五組的頻率；
（2）該網(wǎng)站在打分結(jié)果較高的第三、四、五組中用分層抽樣的方法抽取6個住戶．
①已知甲住戶和乙住戶均在第三組，求甲、乙同時被選中的概率；
②政府決定在這6個住戶中隨機抽取2個作具體了解，設(shè)第四組中有X個住戶被選中，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖能求出第三、四、五組的頻率．
（2）①該網(wǎng)站在打分結(jié)果較高的第三、四、五組中用分層抽樣的方法抽取6個住戶，第三組抽3人，由第三組共有100×0.3=30個住戶，甲住戶和乙住戶均在第三組，能求出甲、乙同時被選中的概率．
②第四組中有X個住戶被選中，由題意得X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖得第三組的頻率為：0.150×2=0.3，
第四組的頻率為：0.1×2=0.2，
第五組的頻率為：0.05×2=0.1．
（2）①該網(wǎng)站在打分結(jié)果較高的第三、四、五組中用分層抽樣的方法抽取6個住戶，
則第三組抽：6×$\frac{0.3}{0.3+0.2+0.1}$=3人，
第四組抽：6×$\frac{0.2}{0.3+0.2+0.1}$=2人，
第五組抽：6×$\frac{0.1}{0.3+0.2+0.1}$=1人，
∵第三組共有100×0.3=30個住戶，甲住戶和乙住戶均在第三組，
∴甲、乙同時被選中的概率p=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{28}^{1}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{1}{145}$．
②第四組中有X個住戶被選中，由題意得X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{1}+{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{15}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{6}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

EX=$0×\frac{6}{15}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意頻率分布直方圖的性質(zhì)的合理運用．