如圖，在三棱錐中，，，D為AC的中點，.

（1）求證：平面平面；
（2）如果三棱錐的體積為3，求.

（1）證明過程詳見解析；（2）.

解析試題分析：本題主要以三棱錐為幾何背景考查線線垂直、平行的判定，線面垂直，面面垂直的判定以及用空間向量法求二面角的余弦值，考查空間想象能力和計算能力.第一問，根據(jù)已知條件，取中點，連結(jié)，得出，再利用，根據(jù)線面垂直的判定證出平面，從而得到垂直平面內(nèi)的線，再利用為中位線，得出平面，最后利用面面垂直的判定證明平面垂直平面；第二問，根據(jù)已知進行等體積轉(zhuǎn)換，利用三棱錐的體積公式列出等式，解出的值.
試題解析：（Ⅰ）取中點為，連結(jié)，．
因為，所以．
又，，所以平面，
因為平面，所以．        3分
由已知，，又，所以，
因為，所以平面．
又平面，所以平面⊥平面．      5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面．
設，因為為的中點，所以
，      10分
由解得，即．        12分
考點：1.線面垂直的判定和性質(zhì)；2.面面垂直的判定；3.錐體的體積公式.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，AA1，BB1為圓柱OO1的母線，BC是底面圓O的直徑，D，E分別是AA1，CB1的中點，DE⊥面CBB1.

(1)證明：DE∥面ABC；
(2)求四棱錐C­ABB1A1與圓柱OO1的體積比．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在幾何體ABCDE中，∠BAC=，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC， AB=AC=BE=2，CD=1。

（1）設平面ABE與平面ACD的交線為直線，求證：∥平面BCDE；
（2）設F是BC的中點，求證：平面AFD⊥平面AFE；
（3）求幾何體ABCDE的體積。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱中，四邊形為菱形，，四邊形為矩形，若，，.

（1）求證：平面；
（2）求證：面；
（3）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，AD//FE，∠AFE=60º，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，點G為AC的中點．

（Ⅰ）求證：EG//平面ABF；
（Ⅱ）求三棱錐B-AEG的體積；
（Ⅲ）試判斷平面BAE與平面DCE是否垂直？若垂直，請證明；若不垂直，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在長方體中，, 沿平面把這個長方體截成兩個幾何體: 幾何體（1）；幾何體（2）

（I）設幾何體（1）、幾何體（2）的體積分為是、，求與的比值
(II)在幾何體（2）中，求二面角的正切值

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）在三棱柱中，側(cè)面為矩形，，，為的中點，與交于點，側(cè)面.

（1）證明：；
（2）若，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。

（１）證明：平面PAB⊥平面PBC；
（２）若，，PB與底面ABC成60°角，分別是與的中點，是線段上任意一動點（可與端點重合），求多面體的體積。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，平面，，分別為，的中點，且.

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）求三棱錐與四棱錐的體積之比.

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