Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=$\frac{1}{2}$（n²+3n）．（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）直接由數(shù)列的前n項(xiàng)和分類求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，利用裂項(xiàng)可求和．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$（n²+3n）-$\frac{1}{2}$[（n-1）²+3（n-1）]=n+1．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁=2，顯然上式成立，
∴a_n=n+1，
（2）∵$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$

點(diǎn)評 本題考數(shù)列遞推式，考查了由數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求數(shù)列的和的應(yīng)用．