Question

8．設橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且左焦點在拋物線y²=4$\sqrt{3}$x的準線上．
（1）求橢圓的方程；
（2）若在y軸上的截距為4的直線l與橢圓分別交于A，B兩點，O為坐標原點，且直線OA，OB的斜率之和等于2，求直線AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的性質求得其準線方程，即可求得橢圓的焦點坐標，跟據(jù)離心率的定義，求得可求a和b，求得橢圓方程；
（2）根據(jù)橢圓方程，設出直線AB的方程，代入橢圓消去y得到關于x的一元二次方程，利用判別式△＞0，求得k的取值范圍，根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂及x₁•x₂，分別求得直線OA及OB的斜率，根據(jù)斜率之和等于2，即可求得k的值．

解答 解：（1）由拋物線y²=4$\sqrt{3}$x的準線為，x=-$\sqrt{3}$，
∴橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點坐標為（-$\sqrt{3}$，0），
∴c=$\sqrt{3}$，由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=2，
由a²=b²+c²，求得b=1，
故橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
設橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且左焦點在拋物線y²=4$\sqrt{3}$x的準線上．
（2）設直線l_AB：y=kx+4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程代入橢圓方程整理得：（1+4k²）x²+32kx+60=0，△=（32k）²-240（1+4k²）＞0，解得k＞$\frac{\sqrt{15}}{2}$或k＜-$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
由韋達定理可知x₁+x₂=-$\frac{32k}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{60}{1+4{k}^{2}}$，
k_OA+k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}+4）{x}_{2}+（k{x}_{2}+4）{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k+4×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k+4×$\frac{-32k}{60}$，
∵直線OA，OB的斜率之和等于2，即2k+4×$\frac{-32k}{60}$=2，解得k=-15，
∴直線AB的斜率-15．

點評 本題以橢圓為載體，考查橢圓及拋物線的幾何性質，一元二次方程根與系數(shù)的關系，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強，屬于中檔題．