Question

19．若關于x的不等式e^x-（a+1）x-b≥0（e為自然對數的底數）在R上恒成立，則（a+1）b的最大值為（　　）

• A． e+1
• B． e+$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{e}{2}$
• D． $\frac{e}{4}$

Answer 1

分析 利用不等式e^x-（a+1）x-b≥0（e為自然對數的底數）在R上恒成立，利用導函數研究單調性求出a，b的關系，再次利用導函數研究單調性（a+1）b的最大值．

解答 解：不等式e^x-（a+1）x-b≥0（e為自然對數的底數）在R上恒成立，令f（x）=e^x-（a+1）x-b，則f（x）≥0在R上恒成立．
只需要f（x）_min≥0即可．
f′（x）=e^x-（a+1）
令f′（x）=0，
解得x=ln（a+1），（a＞-1）
當x∈（-∞，ln（a+1））時，f′（x）＜0，則f（x）時單調遞減．
當x∈（ln（a+1），+∞）時，f′（x）＞0，則f（x）時單調遞增．
故x=ln（a+1）時，f（x）取得最小值
即（a+1）-（a+1）ln（a+1）≥b
那么：（a+1）²[1-ln（a+1）]≥b（a+1）
令（a+1）=t，（t＞0）
則現求g（t）=t²-t²lnt的最大值．
g′（t）=$2t-2t•lnt-\frac{1}{t}•{t}^{2}$
令g′（t）=0，解得：t=${e}^{\frac{1}{2}}$
得極大值為g（${e}^{\frac{1}{2}}$）=$\frac{e}{2}$
∴（a+1）b的最大值為$\frac{e}{2}$．
故選C．

點評 本題考查導數與函數的單調性、極值、最值與函數與方程，屬難題；