Question

2．設(shè)方程e^x+x=a的解為x₁，方程lnx+x=a的解為x₂，則|x₁-x₂|的最小值為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． ln2
• D． $\sqrt{2}$ln2

Answer 1

分析 此題要求的雖然是絕對值的最小值，但是通過觀察發(fā)現(xiàn)兩個方程都是非μ常規(guī)的我們不會解的方程類型，所以我們換個思路，運用函數(shù)的思想來解決方程的有關(guān)問題．將方程的解x₁看作是函數(shù)y₁=e^x與函數(shù)y₀=a-x交點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)值；將方程的解x₂看作是函數(shù)y₂=lnx與函數(shù)y₀=a-x交點坐標(biāo)值得橫坐標(biāo)；由于函數(shù)y₁，y₂互為反函數(shù)，均與直線y₀有交點，所以兩個交點關(guān)于直線y=x對稱，所以x₂=${e}^{{x}_{1}}$，|x₁-x₂|=|${e}^{{x}_{1}}$-x₁|，可看作是函數(shù)g（x）=e^x-x的絕對值，此時問題變?yōu)榍蠛瘮?shù)絕對值的最小值，又因為其為非常規(guī)函數(shù)，所以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的方法求解．

解答 解：方程e^x+x=a的解x₁可以看作是函數(shù)y₁=e^x與函數(shù)y₀=a-x交點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)值；
方程lnx+x=a的解x₂可以看作是函數(shù)y₂=lnx與函數(shù)y₀=a-x交點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)值；
∵函數(shù)y₁，y₂互為反函數(shù)，且均與函數(shù)y₀有交點，
∴兩個交點關(guān)于直線y=x對稱，∴x₂=${e}^{{x}_{1}}$，
∴|x₁-x₂|=|${e}^{{x}_{1}}$-x₁|，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x-x，則丨x₁-x₂丨的最小值可以看作函數(shù)丨g（x）丨的最小值；
我們用導(dǎo)數(shù)的方法一研究其何時取得最小值；
∴函數(shù)g（x）=e^x-x的導(dǎo)數(shù)g′（x）=e^x-1，則g′（x）=0的解為x=0；
∴|x₁-x₂|=|${e}^{{x}_{1}}$-x₁|=|g（x）|，故其最小值為1；
故選：A．

點評 這道題充分利用了函數(shù)的性質(zhì)，互逆函數(shù)間的對稱關(guān)系，并利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的最值問題．難點在于將方程的解變成是函數(shù)的交點，并采用構(gòu)造函數(shù)的方法研究最值問題．